Loading... ## 题意 有一袋 $n$ 个颜色球，第 $i$ 个颜色的球有 $a_i$ 个。 当袋子里至少有两个不同颜色的球时，执行以下步骤： 1. 一个接一个的按照顺序随机取出两个的球，这些球的颜色可能是一样的。 2. 把第二个球涂成第一个球的颜色，然后把两个球放回袋子里。 求期望操作次数。 $n\le 2500,1\le a_i \le 10^5$ ## 题解 考虑计算最后颜色全是 $x$ 的情况，设 $f_i$ 表示已经有 $i$ 个 $x$ 颜色，把这所有都变成 $x$ 还需要的期望次数。先计算一下选出两个求，一个是 $x$，另一个不是的概率设为 $p$，并且记 $s$ 表示球总数： $$ p=\frac{i(s-i)}{s(s-1)} $$ 然后列出转移方程，先考虑边界，$f_s=0$，$f_0$ 不存在，因为永远走不到。按照正常的套路是： $$ f_i=pf_{i-1}+pf_{i+1}+(1-2p)f_i+1 $$ 即表示走出去这一步，但是发现这样干会错，应为走出去这一步不一定就能走到 $f_n$ 了，可能直接走到 $f_0$，所以这一步不是所有情况都能贡献到。假设贡献为 $v$，可以知道 $v$ 就是能走到 $f_n$ 的概率。dp 计算一下，设 $g_i$ 表示有 $i$ 个为 $x$ 的球，到最后的概率所有球都变成 $x$ 的概率： $$ \begin{align} &g_0=0,g_s=1\\ &g_i=pg_{i-1}+pg_{i+1}+(1-2p)g_i\\ &g_{i+1}-g_{i}=g_i-g_{i-1} \end{align} $$ 所以 $g$ 是等差数列，并且知道首项和尾项，可以解出： $$ v=g_i=\frac{i}{s} $$ 带入列一下转移方程： $$ \begin{align} &f_i=pf_{i-1}+pf_{i+1}+(1-2p)f_i+\frac{i}{s}\\ &f_{i}-f_{i+1}=f_{i-1}-f_i+\frac{s-1}{s-i}\\ &f_{i+1}=2f_i-f_{i-1}-\frac{s-1}{s-i} \end{align} $$ 由于没有 $f_0$，可得 $f_2=2f_1-1$，现在需要把 $f_1$ 解出来。根据 $f_{i}-f_{i+1}=f_{i-1}-f_i+\frac{s-1}{s-i}$ 可以把 $f_1$ 和 $f_s$ 用差分的方式列出来： $$ f_1-0=f_1-f_s=\sum_{i=2}^s f_i-f_{i-1} $$ 考虑差分数列上相邻两项的差的贡献： $$ \begin{align} &\sum_{i=2}^s f_i-f_{i-1}\\ =&(s-1)(f_1-f_2)+\sum_{i=2}^{s-1} \frac{s-1}{s-i}(s-i)\\ =&(s-1)(f_1-f_2)+(s-2)(s-1) \end{align} $$ 把 $f_2=2f_1-1$ 带入得 $f_1=\frac{(s-1)^2}{s}$。答案就是 $\sum_{i=1}^n f_{a_i}$ ```cpp #include<bits/stdc++.h> // #define ONLINE_JUDGE #define INPUT_DATA_TYPE int #define OUTPUT_DATA_TYPE int inline __attribute((always_inline)) INPUT_DATA_TYPE read(){register INPUT_DATA_TYPE x=0;register char f=0,c=getchar();while(c<'0'||'9'<c)f=(c=='-'),c=getchar();while('0'<=c&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();return f?-x:x;}void print(OUTPUT_DATA_TYPE x){if(x<0)x=-x,putchar('-');if(x>9)print(x/10);putchar(x%10^48);return;} #define MODINT_TYPE long long #define barK (64) namespace MODINT{ unsigned long long d; __uint128_t m; inline __attribute((always_inline)) void init(const long long &mod){ m=(((__uint128_t)1)<<barK)/(d=mod); return; } inline __attribute((always_inline)) unsigned long long mod(const unsigned long long &x){ register unsigned long long w=(m*x)>>barK; w=x-w*d; return w>=d?w-d:w; } MODINT_TYPE exgcd(MODINT_TYPE a,const MODINT_TYPE b,MODINT_TYPE &x,MODINT_TYPE &y){ if(!b){ x=1; y=0; return a; } MODINT_TYPE d=exgcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return d; } inline __attribute((always_inline)) MODINT_TYPE inv(const MODINT_TYPE &n,const MODINT_TYPE &p){ MODINT_TYPE x,y; exgcd(n,p,x,y); x%=p; return x>=0?x:x+p; } struct MODNUM{ MODINT_TYPE val; inline __attribute((always_inline)) MODNUM(const MODINT_TYPE &x){ if(x<0){ val=d-mod(-x); if(val>=d) val-=d; }else val=mod(x); return; } inline __attribute((always_inline)) MODNUM(){val=0;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator + (const MODNUM& o) const{return (MODNUM){(val+o.val>=d)?(val+o.val-d):(val+o.val)};} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator + (const MODINT_TYPE& o) const{return *this+MODNUM(o);} friend inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator + (const MODINT_TYPE &o,const MODNUM&a){return a+o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator - (const MODNUM& o) const{return (MODNUM){(val-o.val<0)?(val-o.val+d):(val-o.val)};} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator - (const MODINT_TYPE& o) const{return *this-MODNUM(o);} friend inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator - (const MODINT_TYPE &o,const MODNUM&a){return MODNUM(o)-a;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator * (const MODNUM& o) const{return (MODNUM){mod(val*o.val)};} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator * (const MODINT_TYPE& o) const{return *this*MODNUM(o);} friend inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator * (const MODINT_TYPE &o,const MODNUM&a){return a*o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator / (const MODNUM& o) const{return (MODNUM){mod(val*inv(o.val,d))};} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator / (const MODINT_TYPE& o) const{return *this/MODNUM(o);} friend inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator / (const MODINT_TYPE &o,const MODNUM&a){return MODNUM(o)/a;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator ++(){ ++val; if(val>=d) val-=d; return *this; } inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator ++(const int){ MODNUM tmp=*this; ++val; if(val>=d) val-=d; return tmp; } inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator --(){ --val; if(val<0) val+=d; return *this; } inline __attribute((always_inline)) MODNUM operator --(const int){ MODNUM tmp=*this; --val; if(val<0) val+=d; return tmp; } inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator += (const MODNUM& o) {return *this=*this+o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator += (const MODINT_TYPE& o) {return *this=*this+o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator -= (const MODNUM& o) {return *this=*this-o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator -= (const MODINT_TYPE& o) {return *this=*this-o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator *= (const MODNUM& o) {return *this=*this*o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator *= (const MODINT_TYPE& o) {return *this=*this*o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator /= (const MODNUM& o) {return *this=*this/o;} inline __attribute((always_inline)) MODNUM& operator /= (const MODINT_TYPE& o) {return *this=*this/o;} inline __attribute((always_inline)) operator MODINT_TYPE(){return val;} }; } #define mint MODINT::MODNUM int arr[2510]; mint dp[100010]; int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("name.in", "r", stdin); freopen("name.out", "w", stdout); #endif MODINT::init(1000'000'007); register int i,max=0,sum=0; register mint res=0; int n=read(); for(i=0;i<n;++i) sum+=(arr[i]=read()),max=std::max(max,arr[i]); dp[1]=mint(sum-1)*(sum-1)/sum; dp[2]=dp[1]*2-1; for(i=2;i<max;++i) dp[i+1]=dp[i]*2-dp[i-1]-mint(sum-1)/(sum-i); for(i=0;i<n;++i) res+=dp[arr[i]]; print(res); #ifndef ONLINE_JUDGE fclose(stdin); fclose(stdout); #endif return 0; } ``` 最后修改：2024 年 04 月 28 日 © 允许规范转载 赞 如果觉得我的文章对你有用，使用点这里使用虚拟货币进行赞赏